Entier mystère et théorème de Gauss - Corrigé

Énoncé

Soit $n$ un entier compris entre  $1000$ et $2000$ . On sait que la division euclidienne de $n$ par $98$ donne pour reste $31$ , et la division euclidienne de  $n$ par $252$ donne aussi pour reste $31$ . Déterminer $n$ .

Solution

D'après les hypothèses de l'énoncé, il existe $q$ , $q^{\prime }\in \mathbb{Z}$ tels que $n=98q+31$ et $n=252q^{\prime }+31$  On en déduit que $n-31=98q$ et $n-31=252q^{\prime }$ , et donc  $98q=252q^{\prime }$ , c'est-à-dire  $7q=18q^{\prime }$ .

Ainsi, $7$ divise $18q^{\prime }$ avec $7$ et $18$ premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Gauss, $7$ divise $q^{\prime }$ . Cela signifie que $q^{\prime }$ est un multiple de $7$ .

Pour trouver ce multiple de $7$ , on peut écrire $q^{\prime }=7k$ avec $k\in \mathbb{Z}$ et remarquer qu'en reprenant les hypothèses précédentes avec la donnée $1000⩽n⩽2000$ , on a :

$\begin{array}{rl}1000⩽n⩽2000& ⟺1000⩽252q^{\prime }+31⩽2000\\ & ⟺969⩽252q^{\prime }⩽1969\\ & ⟺969⩽252\times 7k⩽1969\\ & ⟺\frac{969}{252\times 7}⩽k⩽\frac{1969}{252\times 7}\end{array}$  

avec ${\displaystyle \frac{969}{252\times 7}}\approx 0,5>0$ et ${\displaystyle \frac{1969}{252\times 7}}\approx 1,1<2$ ,

donc seul le cas $k=1$ convient.

On a donc $q^{\prime }=7\times 1=7$ et $n=252q^{\prime }+31=252\times 7+31=1795$ .